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稳定性分析

稳定性分析 %频率¬响?⊙应>法-相对∥?稳定性?分析 为了使控制系㎝统能可靠地工∶作?,不但要求它能稳定,而…

稳定性分析

%频率¬响?⊙应>法-相对∥?稳定性?分析

为了使控制系㎝统能可靠地工∶作?,不但要求它能稳定,而?且还希望?有足m够的稳定裕㎎量,使∽系∣统在环境发生变化或?存在干/扰的?情况下仍能工作,这即为相对稳定性的概念﹣。

在讨论系统?的稳定裕?量≌时,首先要假?定开″环系统是稳定的,是最小相位系统,即⌒开环系统?的零、?极点?均仅?位于×s?的∴左半平?面?,?否≈则讨论系统的稳定裕量是无意义的。


图5-49∞ I型系统奈氏图

∠为了说明相对稳定性的概念,图5-49为£一典型的I?型系统 曲线,其开环系统的传递函数?为‖: 。根据奈氏判据可知,当 时,系统﹢不稳定,奈∮氏曲线包围(-1?,j0)点;当? 时,系统产生等幅振荡°,奈氏曲线经?过(-1,j0)点;当 时,系统稳定,奈氏曲线不包围(=-1,j0)点。因此直∷观地?看∝,对于开环稳定的系统,要求闭环系统有?一o定的稳∈定性,不仅要求〒 的幅频特性不包围(-1,j0)点,而且应与该点有一定的距离,即有一?定?的·稳定裕量。

﹢衡?量闭环系统相±对稳定性的具体指标有幅㎞值裕量¤ 和相?位裕量 。在Matlab中,相应<地§有专门的函数来 ?求取上述指标$:Margin。具体用法参见下面的例子。

5.5.1 用奈氏图表示相位裕量和幅值♂裕量﹥

1、 相位裕量

mol

设一开?环稳定∫的系统的奈※氏曲线? 负实×轴相交于G点,与单位圆相交于?C点,如图?5?-50。3对№应于 时的⊿频率? =@(交?点£C)称为?增益′穿?越频率,又称剪切频率或交界频率。在剪切频率 *处,使?∷系统达到临界?稳定状态??时所能接?受的?附加相位迟后角?,定?义?为相?位≥裕量???,用 表1示之㎜。对于任何系统,相位裕量 的算式℉为

(5-54)

式中, 是m开环频率特性在剪切?∏频率 处的相位。∧

图5-50 稳定√系﹤统≦的奈氏÷曲线≡2 ⊕


不难理?解,对于¥开环稳定㎏的系统,若 ,表示 曲线包围(-?1,j0)?点,相应的闭μ环系∩统是不稳定的?;反之,若 ,则相应-的闭ml环㏑系统??是?稳定的。一般 ?越大,系统的相对稳定性也就越好。因为系统的参数并非绝对不%变∟,如?果 太小,就有可能因参数?的变‰化而使奈奎斯特?曲线包围(-1,j?0)点?,即导致∵系?统不?稳定。

2、 ℃幅值裕量

幅?值裕量是?系统?相对稳定性的另一度?量?指标。如图5-5?㏄0所示,开环频率特性?的相角 时的频?率 ?(交¢点G)处, 称为相位穿越频率,又㈱称为*相≠位交界频率。开环幅值 的倒数?称为增益裕量,用 表示稳定性分析。即

(5-55)

上式表示系统在变??到临界稳定时,系统的¥增益能增大多少。

由奈奎㏒斯特稳定判据可知??,对于最小相位系?统?,其㏕闭环稳定?的∑充要?条件是 ≒曲≧线不包围(?-1,j0)点,?即 ?曲线与其负实轴交点处的?模小于1,此时≤≮对应的? 。反之,对于不稳定的系统,其 ,如?图℡5?-51所♀示,闭环系统是不+稳定?的。

图5-?51 不稳定系统的奈氏曲线◎

5?.5.2 用?伯?德图∪表示相?位﹣裕量?和幅值裕?量

上述的相位?裕量?和幅值裕量也可?在对≯数幅相??图(Bode∨图)上表3示。对㎡应于图5-?5
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