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傅立叶变换的意义

傅立叶变换的意义 F?F?T是离散傅立叶变换的快速算法,可以将一个信号变换到频域。有〒些信号在时域上是很难看出…

傅立叶变换的意义

F?F?T是离散傅立叶变换的快速算法,可以将一个信号变换到频域。有〒些信号在时域上是很难看出什么特征的,但是如果变换到频域?之后,就很容易看出特征了?。?这就是很多信号-分析采?用FFT变换的原因。另外,FFT可以将一个信号的频谱提取出来,这?在频谱分析方面也是经常用的。

虽然很多人都知道FFT是什么,可以用来做什么,怎么去做,但是却不知道FFT之∧后?的结﹣果是什么意思、如何决定要使用多少点来做FFT。

本文引用地址:http://www.eepw.com.?cn/article/20?1702/338704.htm

现在就根据实际经验来说说FFT结??果的具体物理意义。一个模拟信号?,经过ADC采样之?后,就变成了数字?信号?。采样定⌒理?告?诉我们,采样频率要?大于?信号频率的两?倍,这些我就不在此罗嗦了。

采?样得到的数字?信号,就可∥以做FFT变换了。N个采样点,经过FFT=之后,?就?可以得到N个点的F¥FT结果。为了方便进?行FFT运算,通常?N取2的整?数次方。

假设采?样频率为Fs,信号频率F,采?样点数为N。那么FFT之后㎝结果就是一个为N点的复数。每一个㏄点就对应着一个频率点。这个点的模值,就?是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅?度%有什么关系呢??假设原始信号的峰值为A,那么FFT的结果的每个点(除了第一个?点直流分量之外)的模值㎎就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量,它的℉模值就是直流分量的N?倍。而每个?点的相位呢,就是在该频⊿率下?的信号的?相位。第一个?点表示直流分量(即02Hz)?,而最后一傅立叶变换的意义个点£N的再下一个点(实⊙际上这个点是不存在的,这里是假设?的%第N+1个点,也可以看做是将第一个点分做两半分,另一半移到最后)则表示采样频率Fs,这中间被N-1个点平均分成N等㏑份,每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为:Fn=(n-13)*Fs/N。由上面的公?式可以看出,Fn?所?能分辨到频率为为Fs/N,?1如果采样频率Fs为1024Hz,采样点数为1024点,则可以分辨到1Hz?。1024Hz的∩采样率采÷样102$4点,刚好是1秒,也就是说,采样1秒时间的信号并做F*FT,则?结果可以分析到1Hz,如﹢果采样2秒时间的信号并做?FFT,则结?果可以分析到0.5H?z。如果要提高频♀?率分辨力,则必≯须增加采样点数,也即采样时间。频率分?辨率和采样时间是倒数关系。

假设FFT之㏕后某点n用复数№a+bi表示,那么这个复数的∝模?就是An=根号a*a+b*b?,相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果,就可以计算♂出n点(≡n≠∣1,且n<=N/2)对≈应的信号的3表达式㎏为:An∫/(N√/?2◎)*cos(2*pi*Fn*t+Pn),即2*An?/N*cos(2*pi?*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号,是直流?分∟量,≌幅度即为A1/N。

由于FFT结果的﹤对称性,通常我们?只使用前半部分的ml结果,即小?于采样频率∶一半的结果。

好了,说了半天,看着公式也晕,下面以一个m实际?的″信号来≒做说¢明。

假设㎜我们有一个信号∵,它含有2V的直流分?量,频率为50H¥z、相位为-30∈度、幅?度为3?V的交流信号,以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是?如下:

S=2+3*cos(2*?∏pi?*50?*t﹣-pi*30/180)+1.5*cos(2*p∠i*75*t+p?i*90/180)@

式中cos参数为?弧度,所﹥以-30μ度和90度要分别换算成弧度?。我们以25≧6Hz的采样率对这个信号进行采样,总共采样256?点。按照我们上面的分析,Fn=(n-1)*F㎡s/N,我们可以知道,每∮两个点之间的间mol距就是1Hz,第n个点的频率就是?n-1。我们的信号有3个频率:0Hz、5±0Hz、75Hz,应该分别在第1个点、第51个点、第7?6个点上出现峰值,其它各点应该接近0。实际情况?如何·呢?我们来看?看F≦FT的结果的?模值㏒如图所示。

£FFT的结果¤



从图中我们可以看到,在第?1点、第51>点、?和第76⊥点附近有比较大的值。我们分?别将这三个⊕点附近的数据拿上来?细看:

1点:? 51?2+0?i?

2×点:∴ -2.61﹢9?5E-14 – 1.4162E-13i

3点+: -2.8586E-14 – 1.1898E-13i

50点:≠-6.2076E-13 – ?2.1713E-12i

※51点:332≥.55 – 192i

52点:=-1.6707E-12 – 1.5241∽E-12i

75点:-2.2199E-1§3 -1.0??076?∷E-1°2i

76点:?3.‖4315?E-12≮ + ?192i

㈱77点?:-3.0263E-14 +¬7.5609E?-13i

很明℃显,1㎞点、51点、76点的值都比较大,它附近的点值都很?小,可以认为是0,即在那些频率点上的信号幅度为0。接着,∪我们来计算各点?的幅 ?度值?。分别计算这三个点的模值,结果如下:

1点?: 512∷

51点:384

76点?:192

按照公<式,可以计算出直流分量为?:512/N=512/256=2;50×Hz信号的?幅度为:℅384/(/N/2)=3?84/(256/2*)=3;℡75Hz?信号的‰幅度∨为192/(N/2)=?192/(256≤/2)=1.5。可见?,m从频谱分析出来的o幅度是?正确∑的。
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